Ignazio Giorgi nacque a Roma il 10 settembre 1849, da Giuseppe e da Angela Boscarini.
Dopo gli studi nel seminario romano di Sant'Apollinare, coronati dalla laurea in filosofia nel 1866, Giorgi passò all'Università romana, ove ebbe per maestri Ilario Alibrandi e Carlo Re e si laureò in giurisprudenza nel 1870. Sin dagli anni della giovinezza strinse profonda amicizia con Ugo Balzani, Ernesto Monaci, Oreste Tommasini; con loro, abbandonata la carriera forense, si dedicò allo studio della storia, della paleografia e alla critica dei testi medievali. Con Monaci, Tommasini e con altri studiosi di diverso orientamento, il 5 dicembre 1876, nella casa di Pietro Ercole Visconti, Giorgi fu tra i fondatori della Società romana di storia patria, della quale fu nominato segretario già nella riunione tenutasi il successivo 14 dicembre, e nell'ambito della Società si svolse buona parte dell'attività del Giorgi, il quale, nel 1886, assunse anche l'insegnamento della bibliografia nel secondo corso pratico di metodologia della storia.
Diversi suoi studi furono centrati sulla storia del Medioevo romano e del monastero imperiale di Farfa.
Già prima del 13 aprile 1877 al Balzani e al Giorgi era stata affidata l'edizione del Regesto di Farfa compilato da Gregorio di Catino, perché in quella data i due chiesero che la pubblicazione fosse sorvegliata da una commissione (poi composta da Costantino Corvisieri, che aveva invitato i due all'impresa e ne agevolò gli sforzi, da Giovan Battista De Rossi e dal Monaci); l'edizione, compiuta sulla base del codice autografo, vide la luce nell'arco di trentacinque anni in cinque volumi della Biblioteca della R. Società romana di storia patria, superando non lievi problemi finanziari (denunciati già nella seduta del 20 dicembre 1877) anche grazie a contributi del Comune di Roma, patrono della Società, e dello stesso Balzani.
Accanto ad altri contributi sulla storia medievale e moderna di Roma, sull'antica biblioteca di Nonantola, su documenti terracinesi («Bullettino dell'Istituto storico italiano», 16 (1895), pp. 55-92), vanno poi segnalati gli articoli sulla Storia esterna del codice vaticano del Diurnus Romanorum pontificum e Appunti intorno ad alcuni manoscritti del Liber pontificalis.
Dopo il matrimonio, nel 1877, con Adele Boscarini, sua cugina materna, Giorgi entrò nel 1878 come supplente straordinario nel ruolo di assistente, nella Biblioteca nazionale centrale Vittorio Emanuele II di Roma, inaugurata due anni prima da Ruggero Bonghi. Nel 1880 vinse il posto di vicebibliotecario nell'Universitaria di Pavia, ove lavorò sino al 1882, quando tornò come bibliotecario alla Nazionale di Roma; nel 1884 ottenne, nell'Università romana, la libera docenza di paleografia e diplomatica.
Alla Nazionale si occupò della catalogazione dei manoscritti dei vari fondi confluiti nella biblioteca, in modo particolare del fondo Sessoriano (comprendente i manoscritti provenienti dal monastero cistercense romano di S. Croce in Gerusalemme), del quale recuperò numerosi codici sottratti alla consegna.
Promosso prefetto della Biblioteca nazionale di Palermo nel 1889 (ma già nel 1886 aveva rifiutato l'incarico per non lasciare Roma e per lo stesso motivo aveva tentato, inutilmente, un concorso alla Biblioteca del Senato), vi rimase per quattro anni, sino al 1893, quando ottenne (anche grazie a Pasquale Villari) di tornare a Roma, col grado di bibliotecario, per dirigere la Biblioteca Casanatense.
Il trentennio di direzione alla Casanatense si contraddistinse per i molteplici sforzi spesi nel miglioramento dell'organizzazione della biblioteca nel nuovo scenario della Roma italiana. Con Guido Biagi, Gianni Bonazzi, Guido Calcagno e Pietro Fedele, Giorgi partecipò nel 1921 alla commissione che stese le Regole per la compilazione del catalogo alfabetico (1922), primo codice italiano di norme catalografiche. Accanto al prioritario impegno di bibliotecario, Giorgi continuò, tuttavia, a coltivare gli studi e a dedicare i suoi sforzi alla promozione e all'organizzazione delle ricerche, in particolare: nell'Istituto storico italiano (sorto nel 1883), del quale fu segretario dal 1887 al 1888 e, senza interruzione, dal 1894 al 1924; nella Commissione colombiana, della quale fu segretario nel 1888; e nella Commissione leopardiana, di cui fu segretario dal 1897 al 1907.
Come segretario dell'Istituto storico italiano, per oltre un trentennio Giorgi si occupò precipuamente delle pubblicazioni, seguendo personalmente e portando alla stampa numerosi volumi delle "Fonti per la storia d'Italia", dei "Regesta chartarum" e del «Bullettino dell'Istituto storico italiano» (testimonianza dell'alacrità del suo impegno è nelle lettere da lui indirizzate al Villari, che dal 1898 al 1911 fu presidente dell'Istituto).
Nella sua veste di segretario dell'Istituto storico italiano, il G. svolse un ruolo saliente nelle trattative per acquisire allo Stato italiano la biblioteca della famiglia Chigi. Già alla fine del 1912, il Ministero della pubblica istruzione, al quale era giunta da parte del principe Chigi la proposta dell'acquisto della biblioteca, aveva incaricato Giorgi di esaminare l'importanza e la consistenza dei suoi fondi manoscritti e stampati, di studiarne la condizione giuridica e di prepararne la stima. L'impegno occupò Giorgi per quasi due anni, sino alla metà del 1914, quando presentò la sua relazione; ma solo nel 1916, quando si temette l'intervento dell'antiquario fiorentino Tammaro de Marinis, gli interventi di Monaci, di Giorgi e di Paolo Boselli fecero apporre il fermo tramite la Direzione generale delle antichità e belle arti. La questione dell'acquisto governativo fu così risollevata, anche per merito di Giorgi, il quale, ottenuto l'assenso del principe e deciso l'acquisto, si occupò della ricognizione e della consegna della raccolta. Per preservare i cimeli più preziosi da possibili incursioni aeree negli anni di guerra e per renderli subito disponibili agli studiosi, Giorgi prese in consegna 500 fra manoscritti e incunaboli, che trasportò alla Casanatense, ove rimasero sino al luglio 1922.
Contemporaneamente, prima della fine di luglio 1918, Giorgi elaborò un piano di riordinamento della Chigiana e di adattamento dei suoi locali alle nuove esigenze che il passaggio nelle mani governative avrebbe comportato. Ma, quando ormai la biblioteca sembrava definitivamente acquisita allo Stato, le vicende presero improvvisamente un corso diverso da quanto Giorgi aveva sperato. Il 28 dicembre 1922, il Consiglio dei ministri decise l'aggregazione della Chigiana alla Biblioteca apostolica Vaticana. Il fallimento del suo progetto di acquisizione della Chigiana (appena compensato da assicurazioni e garanzie offerte per la sede dell'Istituto storico italiano) fu causa di grave delusione per Giorgi e, forse, un aggravante per il suo stato di salute, già compromesso. Di fatto, dopo la morte della moglie, avvenuta nel maggio 1923, e il collocamento a riposo dal suo incarico di direttore della Casanatense, nel dicembre dello stesso anno, il Giorgi visse un veloce declino. Morì a Roma il 24 giugno 1924.
Fu ascritto a numerose società e accademie scientifiche: corrispondente della Société de l'Orient latin (1876), socio di diverse società di storia patria (siciliana, 1890; umbra, 1894; ligure, 1900), membro della Società bibliografica italiana (1897), fu infine nominato, il 17 febbraio 1916, socio corrispondente e, il 29 settembre 1921, socio nazionale della Regia Accademia dei Lincei, per la storia e la geografia storica.

La serie comprende la corrispondenza di Ignazio Giorgi (lettere ricevute e minute di risposta) in qualità di segretario dell'Istituto. Sono presenti comunicazioni con i collaboratori dell'Istituto storico italiano per l'edizioni di fonti o saggi (perlopiù pubblicati nel «Bullettino dell'Istituto storico italiano» e nelle collane "Fonti per la storia d'Italia" e "Regesta Chartarum"), con i tipografi per le bozze di stampa, con i presidenti dell'Istituto e con altri enti e istituzioni nazionali e internazionali. Sono presenti anche bozze di stampa e appunti scientifici.

Istituto storico italiano per il medio evo, Archivio storico, Fondo Istituzionale, Carte E. Monaci, fasc. 32; Ibid., Fondo Raffaello Morghen, fasc. 154; Biblioteca apostolica Vaticana, Carteggi Villari, 22; Ibid., Vat. lat. 14260, cc. 10, 40; 14261, cc. 65 s., 160; 14262, cc. 57, 79-83, 88 s., 328, 353, 379, 601, 692; 14263, cc. 434 s.; 14264, cc. 125 s.; 14266, c. 413; 14267, cc. 375 s.; 14268, cc. 219, 228; 14269, cc. 70 s.; 14270, c. 324; 14271, cc. 258, 515; 14272, c. 390; 14273, c. 531; 14274, c. 145; 14275, cc. 9, 19 s., 99, 109 s., 168, 280, 316; 14276, cc. 170, 404; 14277, c. 25; 14278, c. 265; 14280, c. 316; 14281, c. 386; 14282, cc. 74, 80, 132; 14283, cc. 348 s.; 14285, c. 213; 14286, c. 269. Un cospicuo numero di lettere fra Giorgi e Pietro Fedele è pubblicato in Pietro Fedele storico e politico. Atti della tavola rotonda nel cinquantenario della scomparsa di Pietro Fedele (Gaeta 12 agosto 1993), cur. F. AVAGLIANO - L. CARDI, Montecassino 1994, pp. 121-155; L. DE GREGORI, Ignazio Giorgi, «Archivio della Regia Società romana di storia patria», XLVIII (1925), pp. 413-420 (alle pp. 419 s., bibliografia); «Bullettino dell'Istituto storico italiano», 43 (1925), p. 179; «La Cultura», V (1926), p. 528; Lettere a Raffaello Morghen, 1917-1983, cur. G. BRAGA - A. FORNI-P. VIAN, Roma 1994, pp. XVII n. 29, 58 n., 62 e n.; V. CARINI DAINOTTI, La Biblioteca nazionale Vittorio Emanuele al Collegio romano, I, Firenze 1956, pp. 65, 68, 103, 119; G. CENCETTI, Lineamenti di storia della scrittura latina, Bologna 1956, pp. 168-171; R. MORGHEN, Il rinnovamento degli studi storici in Roma dopo il 1870, «Archivio della Società romana di storia patria», C (1977), pp. 40 s.; A. PRATESI, La Società romana di storia patria scuola di critica diplomatica, ibid., pp. 193, 197; A. FORNI, L'Istituto storico italiano, in Speculum mundi. Roma centro internazionale di ricerche umanistiche, cur. P. VIAN, Roma 1992, pp. 604 s., 609, 616 e n., 627, 629, 632 e n., 634 s.; G. BATTELLI, La Società romana di storia patria, ibid., pp. 737-739; M. C. MISITI, "Strena ad Petrum". (La Chigiana e il Vaticano). Storia e documenti inediti, in «Miscellanea Bibliothecae apostolicae Vaticanae», VII, Città del Vaticano 2000, pp. 245-302; C. FRATI, Dizionario bio-bibliografico dei bibliotecari e bibliofili italiani dal sec. XIV al XIX, Firenze 1934, s.v.; M. PARENTI, Aggiunte al Dizionario bio-bibliografico dei bibliotecari e bibliofili italiani di C. Frati, Firenze 1959, p. 129; P. VIAN, Giorgi, Ignazio, DBI, 55, Roma 2001, pp. 323-326; A. DEJURE, Ernesto Monaci e Ignazio Giorgi, in Ernesto Monaci e l'Istituto storico italiano, catalogo della mostra, cur. M. AZZOLINI - A. DEJURE, Roma 2019, (Nuovi studi storici, 113), pp. 45-52.